|
ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۱
۱- تقسیمهای زیر را انجام دهید.
الف) $$\frac{-24x^6y^3z^7}{18xz^5}$$
ب) $$\frac{2a^3y - a^4y^2 + 15xy}{-5y^2}$$
ج) $$(x^3 - 27) \div (x - 2)$$
د) $$(3y^2 - 10y - 24) \div (3y - 4)$$
ه) $$\begin{array}{l|l} 2x^5 + 5x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 3 & x + 3 \\ \hline \end{array}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۱
سلام به شما دانشآموزان عزیز! در این تمرین با انواع مختلف تقسیم عبارات جبری روبرو هستیم. بیایید هر کدام را با روش مخصوص به خود حل کنیم.
**الف) تقسیم تکجملهای بر تکجملهای:**
در این حالت، اعداد را با هم و متغیرهای مشابه را با استفاده از قوانین توان (کم کردن توانها) ساده میکنیم:
* عدد: $$\frac{-24}{18}$$ به ۶ ساده میشود $$\rightarrow -\frac{4}{3}$$
* متغیرها: $$x^6 \div x^1 = x^5$$ و $$y^3$$ خودش میماند و $$z^7 \div z^5 = z^2$$
**حاصل:** $$- \frac{4}{3} x^5 y^3 z^2$$
**ب) تقسیم چندجملهای بر تکجملهای:**
هر جمله از صورت را جداگانه بر مخرج تقسیم میکنیم:
* $$\frac{2a^3y}{-5y^2} = -\frac{2a^3}{5y}$$
* $$\frac{-a^4y^2}{-5y^2} = +\frac{a^4}{5}$$
* $$\frac{15xy}{-5y^2} = -\frac{3x}{y}$$
**حاصل:** $$-\frac{2a^3}{5y} + \frac{a^4}{5} - \frac{3x}{y}$$
**ج) تقسیم چندجملهای بر چندجملهای (ستونی):**
۱. $$x^3 \div x = x^2$$
۲. $$x^2(x-2) = x^3 - 2x^2$$؛ با کم کردن، باقیمانده $$2x^2 - 27$$ میشود.
۳. $$2x^2 \div x = 2x$$
۴. $$2x(x-2) = 2x^2 - 4x$$؛ با کم کردن، باقیمانده $$4x - 27$$ میشود.
۵. $$4x \div x = 4$$
۶. $$4(x-2) = 4x - 8$$؛ با کم کردن، باقیمانده نهایی **۱۹-** میشود.
**خارجقسمت:** $$x^2 + 2x + 4$$
**د) تقسیم دوجملهای:**
۱. $$3y^2 \div 3y = y$$
۲. $$y(3y-4) = 3y^2 - 4y$$؛ با کم کردن، باقیمانده $$-6y - 24$$ میشود.
۳. $$-6y \div 3y = -2$$
۴. $$-2(3y-4) = -6y + 8$$؛ باقیمانده نهایی **۳۲-** میشود.
**خارجقسمت:** $$y - 2$$
**ه) تقسیم چندجملهای طولانی:**
مشابه موارد قبل، بزرگترین توان مقسوم را بر بزرگترین توان مقسومعلیه تقسیم کرده و مراحل را تا جایی ادامه میدهیم که درجه باقیمانده کمتر از درجه مقسومعلیه (یعنی عدد ثابت) شود.
ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۲
۲- خارجقسمت و باقیماندۀ تقسیم زیر را مشخص کنید و درستی عمل تقسیم را با نوشتن روابط تقسیم نشان دهید.
$$(4x^6 - 3x^4 + x^2 + 5) \div (1 - x^3)$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۲
**گام ۱: مرتب کردن عبارات**
همیشه اولین قدم این است که مقسوم و مقسومعلیه را بر حسب توانهای نزولی (از بزرگ به کوچک) بنویسیم:
مقسوم: $$4x^6 - 3x^4 + x^2 + 5$$
مقسومعلیه: $$-x^3 + 1$$
**گام ۲: انجام عملیات تقسیم**
۱. $$4x^6 \div (-x^3) = -4x^3$$ (جمله اول خارجقسمت)
۲. $$-4x^3(-x^3 + 1) = 4x^6 - 4x^3$$؛ با تفریق از مقسوم، باقیمانده مرحله اول $$-3x^4 + 4x^3 + x^2 + 5$$ میشود.
۳. $$-3x^4 \div (-x^3) = 3x$$ (جمله دوم خارجقسمت)
۴. $$3x(-x^3 + 1) = -3x^4 + 3x$$؛ با تفریق، باقیمانده نهایی $$4x^3 + x^2 - 3x + 5$$ میشود.
۵. $$4x^3 \div (-x^3) = -4$$ (جمله سوم خارجقسمت)
۶. $$-4(-x^3 + 1) = 4x^3 - 4$$؛ با تفریق، باقیمانده واقعی **$$x^2 - 3x + 9$$** به دست میآید.
**گام ۳: بررسی درستی (رابطه تقسیم)**
فرمول درستی: $$\text{مقسوم} = (\text{خارجقسمت} \times \text{مقسومعلیه}) + \text{باقیمانده}$$
$$4x^6 - 3x^4 + x^2 + 5 = (-4x^3 + 3x - 4)(-x^3 + 1) + (x^2 - 3x + 9)$$
با ضرب پرانتزها و جمع با باقیمانده، دقیقاً به عبارت مقسوم میرسیم که نشاندهنده صحت حل ماست.
ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۳
۳- حجم یک جعبه به شکل مکعب مستطیل برابر با $$2x^3 + 15x^2 + 28x$$ است. اگر ارتفاع این جعبه $$x$$ و طول آن $$x + 4$$ باشد، عرض آن را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۳
میدانیم فرمول حجم مکعب مستطیل عبارت است از: **$$\text{طول} \times \text{عرض} \times \text{ارتفاع} = \text{حجم}$$**.
**روش اول: تقسیم مرحلهای**
۱. ابتدا حجم را بر ارتفاع ($$x$$) تقسیم میکنیم:
$$\frac{2x^3 + 15x^2 + 28x}{x} = 2x^2 + 15x + 28$$
این عبارت حاصلضرب **طول در عرض** است.
۲. حالا این عبارت را بر طول ($$x+4$$) تقسیم میکنیم تا عرض پیدا شود:
$$\begin{array}{l|l} 2x^2 + 15x + 28 & x + 4 \\ \hline \end{array}$$
* $$2x^2 \div x = 2x$$
* $$2x(x + 4) = 2x^2 + 8x$$؛ با کم کردن، $$7x + 28$$ باقی میماند.
* $$7x \div x = 7$$
* $$7(x + 4) = 7x + 28$$؛ باقیمانده صفر میشود.
**پاسخ نهایی:** عرض جعبه برابر است با **$$2x + 7$$**.
ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۴
۴- اگر چند جملهای $$20x^3 + 23x^2 - 10x + a$$ بر $$4x + 3$$ بخشپذیر باشد، $$a$$ را به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۴
**مفهوم بخشپذیری:** وقتی میگوییم یک عبارت بر دیگری بخشپذیر است، یعنی **باقیمانده تقسیم باید برابر با صفر باشد**.
**گامهای حل:**
تقسیم ستونی را شروع میکنیم:
۱. $$20x^3 \div 4x = 5x^2$$
۲. $$5x^2(4x + 3) = 20x^3 + 15x^2$$؛ با کم کردن، باقیمانده مرحله اول $$8x^2 - 10x + a$$ است.
۳. $$8x^2 \div 4x = 2x$$
۴. $$2x(4x + 3) = 8x^2 + 6x$$؛ با کم کردن، باقیمانده مرحله دوم $$-16x + a$$ است.
۵. $$-16x \div 4x = -4$$
۶. $$-4(4x + 3) = -16x - 12$$
حالا برای بخشپذیری، باید عبارت $$-16x + a$$ منهای $$-16x - 12$$ برابر صفر شود:
$$(-16x + a) - (-16x - 12) = 0$$
$$-16x + a + 16x + 12 = 0 \Rightarrow a + 12 = 0$$
**پاسخ نهایی:** مقدار $$a$$ باید **$$12-$$** باشد تا تقسیم بدون باقیمانده تمام شود.
ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۵
۵- خارجقسمت و باقیماندۀ تقسیم عبارت $$2x^2 - 9x + 9$$ را بر هر یک از عبارتهای زیر به دست آورید.
$$x + 3 \quad , \quad x - 3 \quad , \quad 2x - 3 \quad , \quad 2x + 3$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۹ - تمرین ۵
بیایید برای یکی از موارد (مثلاً تقسیم بر $$x-3$$) به صورت دقیق حل کنیم و برای بقیه نتایج را بررسی کنیم.
**تقسیم بر $$x-3$$:**
۱. $$2x^2 \div x = 2x$$
۲. $$2x(x - 3) = 2x^2 - 6x$$؛ تفریق میکنیم: $$-3x + 9$$ باقی میماند.
۳. $$-3x \div x = -3$$
۴. $$-3(x - 3) = -3x + 9$$؛ باقیمانده **صفر** میشود.
*نتیجه:* بر $$x-3$$ بخشپذیر است و خارجقسمت $$2x-3$$ است.
**تقسیم بر $$2x-3$$:**
مشابه بالا، چون $$(x-3)(2x-3)$$ تجزیه عبارت اصلی ماست، اگر بر $$2x-3$$ تقسیم کنیم، خارجقسمت **$$x-3$$** و باقیمانده **صفر** میشود.
**تقسیم بر $$x+3$$:**
در این حالت باقیمانده صفر نمیشود. با انجام تقسیم ستونی:
* خارجقسمت: **$$2x - 15$$**
* باقیمانده: **$$54$$**
**تقسیم بر $$2x+3$$:**
* خارجقسمت: **$$x - 6$$**
* باقیمانده: **$$27$$**
